1. 欧拉函数，也称为欧拉-费马函数，是数论中的一个重要概念。欧拉函数它表示小于或等于自然数n的正整数中与n互质的数的数目，用$\varphi(n)$表示。

2. 当 n 是质数时，$\varphi(n)=n-1$。因为n与 1 至 n-1 的所有数互质。例如，$\varphi(5)=4$。

3. 当n=pq，其中p、q都是质数时，$\varphi(n)=(p-1)(q-1)$。因为在小于n的正整数中，与n有公因数的数一定是p和q的倍数，共有p+q-1个，因此与n互质的数共有pq-p-q+1=(p-1)(q-1)个。例如，$\varphi(21)=(3-1)(7-1)=12$。

4. 当n是正整数m的k次幂（m、k为正整数，m>1）时，$\varphi(n)=m^{k-1}(m-1)$。因为，在小于 n 的正整数中，与n有公因数的数必定是m的倍数，而少于m的倍数中每m个有一个即是 m的倍数，且在小于n的正整数中共有m^(k-1)个m的倍数，因此小于n的正整数中，与n互质的数共有n(1-1/m)(1-1/m^2)...(1-1/m^(k-1))个。而(1-1/m)(1-1/m^2)...(1-1/m^(k-1))=m^k/m^(k-1)×(1-1/m)×...×(1-1/m^(k-1))=m(m-1)/m×(m-1)/.../m×(m-1)=m^(k-1)(m-1)。例如，$\varphi(16)=(2^{4-1})(2-1)=8$。

5. 对于任意的正整数n，可以将n分解为多个质因数的积，即n=p1^k1×p2^k2×...×pm^km，那么$\varphi(n)=n×(1-1/p1)×(1-1/p2)×...×(1-1/pm)$。例如，$\varphi(24)=(2^3)×(3^1)×(1-1/2)×(2/3)=8$。

6. 欧拉函数有着广泛的应用，尤其是在数论中。欧拉定理就是利用欧拉函数得到的结论。此外，欧拉函数也可以在RSA公钥加密算法中扮演重要的角色。

总之，欧拉函数作为数论中的一个重要概念，不仅可以用于理论研究，还可以应用于加密算法等实际问题中。