1. 根据我国刑法规定，寻衅滋事、敲诈勒索、故意伤害都是刑事犯罪，涉及到人身权益、财产权益的侵害，属于严重违法行为。

2. 根据刑法第二百五十三条规定，以暴力、威胁或者其他方法，在公共场所或者他人住所、工作场所、学校、交通工具等场所，寻衅滋事的，处五日以上十日以下拘留，并处五百元以下罚款，情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，并处一千元以下罚款。

3. 根据刑法第二百七十六条规定，敲诈勒索公私财物或者其他不应给予的利益，数额较大或者情节严重的，处五年以上十年以下有期徒刑，可以并处罚金；数额巨大或者情节特别严重的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。

4. 根据刑法第二百三十五条规定，故意伤害他人身体，致人轻伤的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。

5. 根据刑法第七十七条规定，数罪并罚，对于同时涉及多种罪名的罪犯，应当分别定罪，并全部判处，但总刑期不得超过最高刑期。

综上，对于同时涉及寻衅滋事、敲诈勒索、故意伤害罪名的罪犯，最高刑期为十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并可能被处以罚金或者没收财产的刑罚。